Sujet : Analyse, Séries entières, Fonctions développables en série entière

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions développables en série entière Exercice 5 [ 00993 ] [correction] [Fonction absolument monotone] ∞ (n)Soit f :R→R de classeC telle que f > 0 pour tout n∈N.Exercice 1 [ 00992 ] [correction] ∞ Montrer que f est développable en série entière en 0.Soient a> 0 et f : [−a,a]→R de classeC pour laquelle il existe A,K > 0 vérifiant pour tout n∈N (n) nf 6Kn!A ∞ Exercice 6 [ 03358 ] [correction] Montrer que la fonctionMontrer que f est développable en série entière en 0. p 2f :x7→ x +x+1 admet un développement en série entière de rayon de convergence R> 1. Exercice 2 Centrale MP [ 03303 ] [correction] ∞Soit f : ]−R,R[→R (avec R> 0) de classeC vérifiant Exercice 7 Centrale MP [ 03302 ] [correction](n)∀n∈N,∀x∈ [0,R[,f (x)> 0 Etablir que la fonction 1 x7→Montrer la convergence de la série 1−shx X 1 est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.(n) nf (0)x n! pour tout x∈ ]−R,R[. Exercice 8 [ 03687 ] [correction] Pour x∈R, on pose +∞ nX cos(2 x) f(x) =Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02851 ] [correction] n!∞ n=0Soient a> 0 et f∈C (]−a,a[,R) telle que ∞a) Montrer que la fonction f est définie et de classeC surR. (n)∀n∈N,∀x∈ ]−a,a[,f (x)> 0 b) Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul. a) Si|x| 0 et f : ]−a,a[→R de classeC telle que f > 0 pour tout n∈N. Montrer que f est égale à la somme de sa série de Taylor en 0.