Sujet : Analyse, Séries entières, Etude de la somme d'une série entière

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de la somme d’une série entière Exercice 5 [ 00984 ] [correction] +∞P nSoit S(x) = a x de rayon de convergence R> 0.n Exercice 1 [ 00980 ] [correction] n=0 P n On suppose qu’il existe α> 0 tel que sur [0,α] on ait S(x) = 0.Soit a z une série entière de rayon de convergence R> 0 et de somme f.n +∞ Montrer que S = 0.P 2na) Exprimer a z en fonction de f pour|z| 0 et de somme f(z).nb) Pour tout x∈ ]−1,1[, exprimer g(x) en fonction de f(x). n=0 a) Montrer que pour 00 n>0 former une relation entre leur somme. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02856 ] [correction] Soient B ={z∈C,|z|6 1} et f une fonction continue de B dansC dont la ◦restriction à B est somme d’une série entière. Montrer qu’il existe une suite Exercice 4 [ 00983 ] [correction] (P ) de polynôme convergeant uniformément vers f sur B.k k>0 ?Soit (a ) une suite non nulle et T périodique (avec T∈N ).n P na) Déterminer le rayon de convergence de la série entière a x .n n>0 Exercice 9 [ 03067 ] [correction] nT−1 +∞P P k n Soit (u ) une suite réelle bornée et pour n∈Nnb) Simplifier a x . En déduire que a x est, pour tout x∈ ]−1,1[, unek n k=0 n=0 nXfraction rationnelle en x. S = un k k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.