Sujet : Analyse, Séries entières, Applications des développements en séries entières

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Applications des développements en séries entières Exercice 6 [ 01006 ] [correction] Montrer Z+∞ n 1X (−1)Exercice 1 [ 01002 ] [correction] = arctanx dxsinx ∞a) Montrer que la fonction x7→ se prolonge en une fonction de classeC sur (2n+1)(2n+2) 0x n=0 R. sinx En déduire la valeur de cette somme.b) Montrer qu’il en est de même de la fonction x7→ xe −1 Exercice 2 [ 03308 ] [correction] Exercice 7 [ 01007 ] [correction] Pour x = 0 on pose a) Développer en série entière en 0 la fonction arcsin et préciser le domaine de Z 2x cost convergence. f(x) = dt b) En étudianttx Z π/2 a) Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0. arcsin(sin(t))dt b) Montrer que ce prolongement est développable en série entière sur R. 0 déterminer +∞ +∞X X1 1 puisExercice 3 [ 01003 ] [correction] 2 2(2k+1) k k=0 k=1Montrer que∀a> 0, Z +∞1 nXdt (−1) = a1+t na+10 n=0 Exercice 8 [ 01008 ] [correction] En déduire les sommes Observer que pour tout x∈ ]−1,1[, +∞ +∞X n X n(−1) (−1) Zet π/2 2 √ln(1+xsin t)n+1 2n+1 n=0 n=0 dt =π( 1+x−1)2sin t0 Exercice 4 [ 01004 ] [correction] Exercice 9 [ 01009 ] [correction]Montrer Z +∞1 n−1X a) On note γ la constante d’Euler.