Sujet : Analyse, Séries entières, Application à l'étude de suite

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Application à l’étude de suite Exercice 4 Centrale MP [ 02849 ] [correction] Si n> 1, soit I le nombre d’involutions de{1,...,n}. On convient : I = 1.n 0 a) Montrer, si n> 2, queExercice 1 [ 01010 ] [correction] a) Former le développement en série entière en 0 de I =I +(n−1)In n−1 n−2 1 P In nx7→ b) Montrer que la série entière x converge si x∈ ]−1,1[.2 n!(1−x)(1−x ) n>0 On note S(x) sa somme.Nb) Soit (u )∈C vérifiantn c) Montrer, pour x∈ ]−1,1[, que ∀n∈N,u =u +u −un+3 n+2 n+1 n 0S (x) = (1+x)S(x) Exprimer le terme général de la suite (u ) en fonction de ses premiers termes.n d) En déduire une expression de S(x) puis une expression de I .n Exercice 2 [ 01011 ] [correction] Exercice 5 Mines-Ponts MP PC [ 02850 ] [correction] On pose a = 1 et pour tout n∈N,0 On pose a = 1 puis pour tout n∈N0 nX ! nXa = a an+1 n−k k n a = a an+1 n−k kk=0 k k=0 a) Donner une formule permettant de calculer a nnCalculer les a en utilisant la série entière de terme général x .n n! +∞X n S(x) = a xn n=0 b) Calculer S(x). c) les a .n d) Donner un équivalent de la suite (a ).n Exercice 3 Centrale MP [ 02451 ] [correction] On note N(n,p) le nombre de permutations de [1,n] qui ont exactement p points fixes. On pose en particulier D(n) =N(n,0), puis +∞XD(n) nf(x) = x n! n=0 a) relier N(n,p) et D(n−p). b) Justifier la définition de f sur ]−1,1[ puis calculer f. c) Calculer N(n,p). 1d) Etudier la limite de N(n,p) quand n tend vers +∞.n!