Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Séries de Fourier et équations différentielles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Séries de Fourier et équations différentielles Exercice 1 [ 00967 ] [correction] Déterminer les solutions 2π périodiques de l’équation différentielle 00 ity +e y = 0 Exercice 2 CCP MP [ 03331 ] [correction] Soit α∈C\iZ et f continue surR à valeurs dansC et 2π-périodique. Soit y solution de l’équation 0y +αy =f a) Montrer que y est de la forme Z x −αx αty(x) = e y(0)+ f(t)e dt 0 b) Montrer que y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) =y(2π) (on pourra utiliser que z(x) =y(x+2π) est solution de l’équation différentielle). c) En déduire qu’il existe une unique fonction φ, 2π-périodique solution de l’équation différentielle. d) Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et l’exprimer en fonction des coefficients complexes de f. Exercice 3 [ 03327 ] [correction] Soit f :R→C 2π-périodique dérivable telle qu’il existe λ∈R vérifiant 0∀t∈R,f (t) =f(t+λ) (*) a) Montrer inλ∀n∈Z,(in−e )c (f) = 0n b) Pour quel(s) λ∈R existe-t-il des fonctions 2π-périodiques, autres que la fonction nulle, vérifiant (*)? Exercice 4 X MP [ 03439 ] [correction] On considère la fonction f :R→C 2π-périodique donnée par ix f(x) = sur ]−π,0[∪]0,π[, f(0) = 1 et f(π) = 0 ixe −1 Développer f en série de Fourier. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 1Corrections d) Cette solution est de classeC donc développable en série de Fourier.