Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Inégalités et séries de Fourier

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Inégalités et séries de Fourier Exercice 3 [ 00433 ] [correction] [Inégalité de Poincaré] 1Soit f : [0, 1]→R de classeC vérifiant f(0) =f(1) = 0. EtablirExercice 1 [ 00965 ] [correction] Z Z[Inégalité de Wirtinger] 1 11 21 2 0Soit f :R→C une fonction 2π périodique de classeC telle que f(t) dt6 (f (t)) dt 2π0 0 Z 2π Observer que la constante de majoration ne peut être améliorée.f = 0 0 0a) Rappeler la relation existant entre c (f) et c (f ).n n Exercice 4 [ 02752 ] [correction] b) Montrer que 1Soit f :R→R une fonction 2π-périodique de classeC et vérifiantZ Z2π 2π 2 20|f(t)| dt6 |f (t)| dt Z 2π 0 0 f(t) dt = 0 0et préciser les cas d’égalités. Montrer que Z 2ππ 22 0kfk 6 (f (t)) dt∞Exercice 2 CCP MP [ 03700 ] [correction] 6 0 1Soit f :R→C une fonction 2π périodique de classeC telle que Z 2π Exercice 5 [ 03495 ] [correction] f = 0 2 +Soient f :R→C 2π-périodique et de classeC et a,b∈R tels que 4ab> 1.0 Etablir Z Z Z2π 2π 2π0a) Pourquoi peut-on appliquer la formule de Parseval aux fonctions f et f . 2 22 00 0 a |f| +b |f | > |f|0b) Rappeler la relation existant entre c (f) et c (f ).n n 0 0 0 c) Montrer que Z Z2π 2π 22 0|f(t)| dt6 |f (t)| dt 0 0 d) On suppose que Z Z2π 2π 22 0|f(t)| dt = |f (t)| dt 0 0 Montrer que pour tout k∈Z\{−1, 0, 1}, c (f) = 0; en déduire, grâce auk théorème de convergence uniforme des séries de Fourier, qu’il existe deux scalaires −ix ixA et B tels que f(x) =Ae +Be pour tout x∈R.