Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Développement en série de Fourier

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Développement en série de Fourier Exercice 4 [ 03176 ] [correction] Soit f :R→R la fonction paire, 2π-périodique, définie par Exercice 1 [ 00951 ] [correction] 2 24x −π si x∈ [0,π/2] f(t) =Soit f une fonction continue 2π périodique. 2 28xπ−3π −4x sinon On suppose que la série de Fourier de f converge uniformément. Montrer que cette convergence a lieu vers la fonction f. 1a) Montrer que f est de classeC et calculer exprimer sa dérivée. b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonction f. c) En déduire la valeur de +∞ nX (−1)Exercice 2 [ 00952 ] [correction] 3(2n+1)Soit f :R→R la fonction régularisée, 2π périodique, impaire, constante égale à 1 n=0 sur ]0,π[. a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques. b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier vers f. Exercice 5 [ 00954 ] [correction] c) En déduire Soit f :R→R la fonction 2π périodique définie par +∞ +∞pX X(−1) 1 et f(x) =|cosx|22p+1 (2p+1) p=0 p=0 a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f. d) Calculer b) En déduire la valeur +∞ +∞ n−1 +∞X X n+1X1 (−1) (−1) et 2 2 2n n 4n −1n=1 n=1 n=1 Exercice 6 [ 00955 ] [correction]Exercice 3 [ 00953 ] [correction] Soit f :R→C, 2π-périodique, impaire et vérifiantSoit f :R→R l’application 2π périodique, paire, telle que π−t f(t) = sur ]0,π]∀x∈ [0,π],f(x) =x 2 a) Préciser la convergence de la série de Fourier de f.