Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Applications des séries de Fourier

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Applications des séries de Fourier Exercice 4 [ 03099 ] [correction] a) On note g la fonction 2π-périodique définie par Exercice 1 [ 00969 ] [correction] g(t) =π−t sur [0,2π[ Soient f,g :R→C 2π-périodiques, continues et paires. Pour tout x∈R, on pose Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de g. 1+∞ b) Soit f :R→R une fonction continue,C par morceaux et 2π-périodique.Xa (f)a (g)0 0 h(x) = + a (f)a (g)cos(nx)n n Montrer que 2 Z+∞n=1 2πXb (f) 1n = (π−t)f(t)dt n 2πJustifier que h existe, est continue et calculer ses coefficients de Fourier réels. 0n=1 Etablir que c) Etablir que l’identité est encore vraie pour f seulement continue par morceaux. khk 6 2kfk kgk∞ ∞ ∞ Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02886 ] [correction] 1Soit f∈C ([0,π],R) telle queExercice 2 [ 00970 ] [correction] Z πPour θ∈ ]0,π[, calculer de deux manières la partie réelle de 02f(0) =f(π) = 0 et f = 1 !Z +∞ 01 X n i(n+1)θt e dt Montrer qu’il existe une suite réelle (a ) telle quen n>1 0 n=0 +∞ +∞X X2 an2a = et∀x∈ [0,π],f(x) = sin(nx)afin d’en déduire la valeur de n π n+∞X n=1 n=1cosnθ n n=1 Exercice 6 Centrale MP [ 03250 ] [correction] Soit f la somme surC de la série entière XanExercice 3 X MP [ 00418 ] [correction] n z n!α désigne un réel de l’intervalle ]0,π[ et f la fonction 2π périodique définie sur n>0 ]−π,π] par supposée de rayon de convergence R = +∞.