Sujet : Analyse, Nombres réels, Rationnels et irrationnels

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rationnels et irrationnels Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02647 ] [correction] a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers (a ) et (b ) vérifiantn n∈N n n∈N √ √Exercice 1 [ 02092 ] [correction] n( 2+1) =a +b 2n nMontrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. 2 2b) Calculer a −2b .n n ?c) Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique p∈N tel que √ p√nExercice 2 [ 02093 ] [correction] ( 2+1) = p+ p−1√ Montrer que 2 n’est pas un nombre rationnel Exercice 8 [ 01975 ] [correction] Exercice 3 [ 02094 ] [correction] √ [Irrationalité de π] √ 2 ?√ 2 a) Pour a,b∈N , montrer que la fonction polynomialebCalculer 2 . En déduire l’existence d’irrationnels a,b> 0 tels que a soit 1 n nrationnel. P (x) = x (bx−a)n n! et ses dérivées successives prennent en x = 0 des valeurs entières. Exercice 4 [ 02095 ] [correction] b) Etablir la même propriété en x =a/b ?Soit f :Q→Q telle que c) Pour n∈N , on pose Z π I = P (t)sintdt∀x,y∈Q,f(x+y) =f(x)+f(y) n n 0 a) On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C? Montrer que I → 0.n On revient au cas général. d) En supposant π =a/b, montrer que I ∈Z. Conclure.n b) Calculer f(0). c) Montrer que∀x∈Q,f(−x) =−f(x). d) Etablir que∀n∈N,∀x∈Q,f(nx) =nf(x) et généraliser cette propriété à Exercice 9 [ 03668 ] [correction] r ?n∈Z. [Irrationalité de e pour r∈Q ] ?e) On pose a =f(1). Montrer que∀x∈Q,f(x) =ax.