Sujet : Analyse, Nombres réels, Borne supérieure, borne inférieure

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Borne supérieure, borne inférieure Exercice 7 [ 00225 ] [correction] Soit A une partie non vide et minorée deR. On pose Exercice 1 [ 02107 ] [correction] m = infA et B =A∩]−∞,m+1] Soit 1n A = (−1) + /n∈N Déterminer la borne inférieure de B. n+1 Montrer que A est bornée, déterminer infA et supA. Exercice 8 [ 02347 ] [correction] 2Soit f :R →R. Etablir Exercice 2 [ 02109 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides deR telles que sup inf f(x,y)6 inf supf(x,y) y∈R y∈Rx∈R x∈R ∀(a,b)∈A×B, a6b Montrer que supA et infB existent et que supA6 infB. Exercice 9 [ 02114 ] [correction] Déterminer 1 1 Exercice 3 [ 02108 ] [correction] inf (x +···+x ) +···+ /x ,...,x > 01 n 1 n x x1 nSoient A et B deux parties non vides et bornées deR telles que A⊂B. Comparer infA,supA,infB et supB. Exercice 4 [ 02110 ] [correction] Soient A et B deux parties deR non vides et majorées. Montrer que supA,supB et sup(A∪B) existent et sup(A∪B) = max(supA,supB) Exercice 5 [ 02111 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides et majorées deR. On forme A+B ={a+b/(a,b)∈A×B} Montrer que A+B est majorée et sup(A+B) = supA+supB Exercice 6 [ 02113 ] [correction] nPour n∈N, on pose f (x) =x (1−x). Déterminer lim sup f (x)n n n→+∞x∈[0,1] Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.