Sujet : Analyse, Nombres complexes, Racines de l'unité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Racines de l’unité Exercice 6 [ 02040 ] [correction] ?Soit n∈N . Résoudre l’équation n nExercice 1 [ 02036 ] [correction] (z + 1) = (z− 1) Calculer le produit des racines de l’unité Combien y a-t-il de solutions? Exercice 2 [ 02037 ] [correction] Exercice 7 [ 02041 ] [correction] ? ?Soit n∈N . On note U l’ensemble des racines n ème de l’unité.n Soit n∈N . Résoudre dansC l’équation Calculer X nz + 1 = 0 |z− 1| z∈Un Exercice 8 [ 02042 ] [correction] ?Soit n∈N . Résoudre dansC l’équation Exercice 3 X PC [ 03353 ] [correction] n n(z +i) = (z−i) Soient n> 3, ω ,...,ω les racines n-ième de l’unité avec ω = 1.1 n n a) Calculer pour p∈Z, Observer que celle-ci admet exactement n− 1 solutions, chacune réelle. nX p S = ωp i Exercice 9 [ 02043 ] [correction]i=1 2πi 7Soit ω = e . Calculer les nombres : b) Calculer 2 4 3 5 6n−1X A =ω +ω +ω et B =ω +ω +ω1 T = 1−ωi i=1 Exercice 10 [ 02044 ] [correction] Soient n∈N, n> 2 et ω = exp(2iπ/n). a) Etablir que pour tout z∈C,z = 1,Exercice 4 [ 02038 ] [correction] Soit ω une racine nème de l’unité différente de 1. On pose n−1 n−1Y X k ‘(z−ω ) = z n−1X k=1 ‘=0kS = (k + 1)ω b) Justifier que l’égalité reste valable pour z = 1.k=0 c) En déduire l’égalité n−1En calculant (1−ω)S, déterminer la valeur de S.