Sujet : Analyse, Nombres complexes, Module et argument

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Module et argument Exercice 9 [ 00055 ] [correction] Soit a∈C tel que|a| 0. On a cosθ = 2 + 2 donc =|1 +u| +|1−u|2√√ 1 2 2cos(2θ) = 2 + 2 − 1 = avec 2θ∈ [0,π] donc 2θ =π/4 puis θ =π/8. 6 (|1 +u| +|1−u|)2 2 2 2 2 avec égalité si, et seulement si, x +y = 1 et 1−u = 0 soit u =±1 ce qui revient à a =±b. Exercice 2 : [énoncé] (⇐) ok 0 0(⇒) Si|z +z| =|z| +|z| alors, en divisant par|z| :|1 +x| = 1 +|x| avec 0 Exercice 5 : [énoncé]x =z/z∈C. θiθ iθ/2z = e + 1 = 2 cos e .Ecrivons x =a +ib avec a,b∈R. 2 θ θ θ θSi cos > 0 alors|z| = 2 cos et arg(z) = [2π], si cos = 0 alors|z| = 0.2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ|1 +x| = (a + 1) +b = 1 + a + b + 2a et si cos 0. iθ isinθ/2e −1 θ= =i tan .+ iθe +1 cosθ/2 2Par suite x∈R et on conclut. Exercice 7 : [énoncé] 0 0 0 00 θ+θ θ−θ θ−θ 0 θ+θExercice 3 : [énoncé] iθ iθ i i −i θ−θ i 2 2 2 2e +e = e (e +e ) = 2 cos e ce qui permet de préciser 2On a 0θ−θmodule et argument en discutant selon le signe de cos . 2 1 10 0 0 0 0 0 0|z| +|z| = |(z−z ) + (z +z )| + |(z −z) + (z +z)|6|z +z| +|z−z| 2 2 Exercice 8 : [énoncé] Interprétation : Dans un parallélogramme la somme des longueurs de deux côtés ix iy iz iα iβPuisque e + e + e = 0, on a 1 + e + e = 0 avec α =y−x et β =z−x. est inférieure à la somme des longueurs des diagonales. 0 Ainsi0 0 z+z + (Il y a égalité si, et seulement si, : z−z = 0 (i.e. z =z ) ou ∈R et0z−z cosα + cosβ =−1 0z+z + 0∈R ce qui se résume à z =−z.