Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Suites d'intégrales impropres

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Suites d’intégrales impropres Exercice 3 [ 00157 ] [correction] ?Pour n∈N , on pose Z +∞ t−[t]Exercice 1 [ 00682 ] [correction] u = dtn t(t+n)On pose 0 Z +∞ dx où [t] représente la partie entière de t.J =n 3 n+1(1+x ) a) Justifier la bonne définition de la suite (u ) .0 n n>1 b) Montrer que pour tout A> 0a) Calculer J .0 !b) Former une relation de récurrence engageant J et J .n n+1 Z Z ZA n A+n t−[t] 1 t−[t] t−[t]c) Etablir qu’il existe A> 0 tel que dt = dt− dt t(t+n) n t t0 0 A A √J ∼n 3n En déduire une nouvelle expression intégrale de u .n c) On pose v =nun n Exercice 2 CCP PC [ 03376 ] [correction] Montrer la convergence de la série de terme général [Calcul de l’intégrale de Gauss] a) Montrer que 1 x v −v −n n−1∀x∈R,e > 1+x 2n En déduire d) En déduire un équivalent de u .n2 12 −t∀t∈R,1−t 6 e 6 21+t ?b) Soit n∈N . Etablir l’existence des intégrales suivantes Exercice 4 Centrale MP [ 02446 ] [correction] 1Z Z Z a) Soit f∈C ([a,b],R). Déterminer les limites des suites+∞ 1 +∞ 2 dt−t 2 nI = e dt, I = (1−t ) dt et J =n n Z Z2 n b b(1+t )0 0 0 ( f(t)sin(nt)dt) et ( f(t)cos(nt)dt) a apuis établir I ?√I 6 6J b) Calculer, pour n∈N ,n n n Z π/2 sin(2nt)cost dtc) On pose sintZ 0π/2 nW = cos xdx (on procédera par récurrence)n 0 c) En déduire Z +∞Etablir sint dtI =W et J =Wn 2n+1 n+1 2n t0 d) Trouver une relation de récurrence entre W et W .