Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrales convergentes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrales convergentes Exercice 5 [ 03631 ] [correction] Soit f : [1,+∞[→R continue. Montrer Exercice 1 [ 02346 ] [correction] Z Z+∞ +∞ f(t)[Intégrale de Dirichlet] f(t)dt converge ⇒ dt converge tJustifier la convergence de l’intégrale suivante 1 1 Z +∞ sint dt t0 Exercice 6 [ 02378 ] [correction] Soit f : [0,+∞[→R continue et α> 0. Montrer On peut montrer que celle-ci est égale à π/2 mais c’est une autre histoire... Z Z+∞ +∞ f(t) f(t)dt converge ⇒ dt converge α1+t0 0 Exercice 2 [ 02383 ] [correction] [Intégrale de Dirichlet] Etablir Z Z+∞ +∞sint 1−cost Exercice 7 Mines-Ponts PC [ 00696 ] [correction] dt = dt 2 Soit f : [0,+∞[→R continue.t t0 0 R+∞ −s t0On suppose que pour s ∈R, l’intégrale f(t)e dt converge.0puis 0RZ Z +∞2 −st+∞ +∞ Montrer que l’intégrale f(t)e dt converge pour tout s>s .sint sint 00 dt = dt t t0 0 On peut démontrer que cette valeur commune est π/2 mais c’est une autre Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02421 ] [correction]histoire... Convergence de Z +∞ 2ite dt Exercice 3 [ 00694 ] [correction] −∞ [Intégrales de Fresnel] Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z Z+∞ +∞ Exercice 9 [ 03178 ] [correction] 2 2 cos(t )dt et sin(t )dt Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux, décroissante et de 0 0 limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale ZExercice 4 [ 00695 ] [correction] +∞ f(t)sin(t)dtSoit f : [0,+∞[→R continue.