Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Fonctions définies par intégrale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions définies par intégrale a) Montrer que F (x) est bien définie pour tout x> 0. 1 +? 0b) Etablir que F est de classeC surR et calculer F (x). c) MontrerExercice 1 [ 00687 ] [correction] lim xF (x) = 0 et lim xF (x) = 0[Fonction Γ d’Euler] x→+∞ x→0+ Pour x> 0 on note Z +∞ d) Sans exprimer F (x), justifier l’existence et calculer x−1 −t Γ(x) = t e dt Z +∞0 F (x) dx a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour tout x> 0. 0 b) Justifier ∀x> 1, Γ(x) = (x− 1)Γ(x− 1) Exercice 5 [ 00691 ] [correction]?et calculer Γ(n) pour n∈N . Pour x> 0, on pose Z Z Zx x x 2it 2 2f(x) = e dt = cos(t ) dt +i sin(t ) dt Exercice 2 [ 00688 ] [correction] 0 0 0 On pose pour Z +∞ a) Montrerdt 2 Z 2xf(a) = ix ite − 1 1 e − 1at + 11 f(x) = + dt 22ix 2i t0 a) Pour quelles valeurs de a, l’intégrale définissant f(a) existe-t-elle? En déduire que f admet une limite notée λ en +∞.b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en +∞. b) On pose g(x) =λ−f(x). Montrer que pour x> 0 Z 2 2+∞ it ix1 e e Exercice 3 [ 00689 ] [correction] g(x) = dt− 22i t 2ixxa) Pour quelles valeurs de x, l’intégrale Z c) Montrer qu’au voisinage de +∞1 x−1t f(x) = dt 2ix1 +t0 e 1 g(x) =− +O 32ix x est-elle définie? b) Etudier la monotonie de f. c) Calculer Exercice 6 [ 00692 ] [correction]f(x) +f(x + 1) pour x> 0 + 1Soit ϕ :R →R une fonction de classeC intégrable. d) Déterminer la limite de f en +∞ ainsi qu’un équivalent. a) Soit A> 0.