Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Calcul d'intégrales dépendant d'un paramètre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul d’intégrales dépendant d’un paramètre Exercice 7 [ 00685 ] [correction] Pour quelles valeurs de a∈R, l’intégrale ZExercice 1 [ 00678 ] [correction] +∞ dt Calculer, pour n∈N, I(a) = 2 aZ +∞ (1+t )(1+t )0 n −tI = t e dtn 0 est-elle définie? En procédant au changement de variable u = 1/t, montrer que I(a) =π/4. Exercice 2 [ 00679 ] [correction] Existence et calcul pour n∈N de Exercice 8 [ 00686 ] [correction] Z Soit f une fonction continue et croissante surR telle que lim f(x) =‘.+∞ x→+∞dx I =n a) Pour a> 0, montrer que l’intégrale2 n+1(1+x )0 Z +∞ f(x+a)−f(x)dx 0Exercice 3 [ 00680 ] [correction] Calculer pour n∈N , est définie et la calculer.Z 1 b) CalculernI = (xlnx) dx Zn +∞ 0 arctan(x+a)−arctan(x)dx −∞ Exercice 4 [ 00681 ] [correction] Pour a> 0, calculer Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02826 ] [correction]Z +∞ Calculer−at ZI(a) = (t−btc)e dt +∞ lnt 0 dt 2 2t +a0 où a> 0. Exercice 5 [ 00683 ] [correction] Existence et valeur pour a> 0 de Z Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02827 ] [correction]+∞ −at Trouver une expression simple deI(a) = sin(t)e dt 0 Z π 2sin t dt 2 2(1−2xcost+x )(1−2ycost+y )0 Exercice 6 [ 00684 ] [correction] où x,y∈ ]−1,1[.Soit a> 0. En procédant au changement de variable u =a/t, calculer Z +∞ lnt I(a) = dt 2 2a +t0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.