Sujet : Analyse, Intégration, Propriétés de l'intégrale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Propriétés de l’intégrale Exercice 6 [ 01968 ] [correction] Soit f : [0,1]→R continue telle que Exercice 1 [ 01965 ] [correction] Z 1 1Soit f : [a,b]→R une fonction continue par morceaux et c∈ ]a,b[. f(t)dt = 2Montrer que 0 !Z Z Z Montrer que f admet un point fixe.b c b1 1 1 f(t)dt6 max f(t)dt, f(t)dt b−a c−a b−ca a c Exercice 7 [ 01969 ] [correction] Soit f : [a,b]→R une fonction continue.Exercice 2 [ 01966 ] [correction] Montrer :Soit f :R→R continue et T > 0. On suppose que Z b1 Z ∃c∈ ]a,b[, f(t)dt =f(c)x+T b−ate af(t)dt =C x Montrer que f est périodique. Exercice 8 [ 01970 ] [correction] [Formule de la moyenne] Soient f,g : [a,b]→R continues avec g> 0. Exercice 3 [ 01967 ] [correction] Montrer qu’il existe c∈ [a,b] tel que Soit f : [a,b]→R continue. Montrer Z Z b bZ Z b b f(t)g(t)dt =f(c) g(t)dt f(t)dt = |f(t)| dt si, et seulement si, f > 0 ou f 6 0 a a a a Exercice 9 [ 03092 ] [correction]Exercice 4 CCP MP [ 01767 ] [correction] [Seconde formule de la moyenne]f étant continue sur [a,b] et à valeurs dansR, trouver une condition nécessaire et Soient f,g : [a,b]→R deux fonctions continues avec f décroissante et positive.suffisante pour que ?Z Z a) Pour n∈N , on pose b b f(x)dx = |f(x)| dx Z n−1a a aX k+1 (b−a) S = f (a ) g(t)dt avec a =a+kn k k nakk=0 Exercice 5 X MP [ 03051 ] [correction] Montrer que2 0Soient (a,b)∈R avec a f b b b b On a g = f ∈R donc g = Re(g).