Sujet : Analyse, Intégration, Fonction dont la variable est borne d'intégration

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonction dont la variable est borne d’intégration a) Montrer que f est dérivable et que Z x 0Exercice 1 [ 01987 ] [correction] f (x) = cos(t−x)g(t)dt 0Soit f :R→R une fonction continue. 1Justifier que les fonctions g :R→R suivantes sont de classeC et exprimer leur 00b) Montrer que f est solution de l’équation différentielle y +y =g(x). dérivée : c) Achever la résolution de cette équationtielle. 2Z Z Zx x x a) g(x) = f(t)dt b) g(x) = xf(t)dt c) g(x) = f(t +x)dt 2x 0 0 Exercice 5 [ 01991 ] [correction] 1 ?Soient f :R→R de classeC et F :R →R définie par Exercice 2 [ 01988 ] [correction] Z x1Soit ϕ :R→R la fonction définie par : ∀x = 0,F (x) = f(t) dt 2x −xsht ϕ(t) = pour t = 0 et ϕ(0) = 1 t a) Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce Soit f :R→R définie par : prolongement. ? 0b) Montrer que F est dérivable surR et exprimer F (x) à l’aide d’une intégraleZ 2x 0c) Montrer que F est dérivable en 0 et observer F (0) = 0.f(x) = ϕ(t)dt x a) Montrer que f est bien définie et étudier la parité de f. 0 Exercice 6 [ 00276 ] [correction]b) Justifier que f est dérivable et calculer f (x). Pour x∈ ]0, 1[, on posec) Dresser le tableau de variation de f. Z 2x dt ϕ(x) = lntx Exercice 3 [ 01989 ] [correction] a) Montrer que ϕ est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuitéSoit f : [0, 1]→R continue. On définit F : [0, 1]→R par en 0 et en 1.