Sujet : Analyse, Intégration, Changement de variables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Changement de variables Exercice 6 [ 01985 ] [correction] a) Montrer que Exercice 1 [ 01982 ] [correction] Z Zπ/2 π/2cost sint π Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable dt = dt = cost+sint cost+sint 40 0adéquat : Z Z Z 2t b) En déduiredt lntdt e dt Z 1a) √ b) c)√ dt2 t3 t+t(lnt) e +1t+ t √ 21−t +t0 Exercice 2 [ 00290 ] [correction] Exercice 7 [ 01986 ] [correction]Déterminer Z Soit f : [a,b]→R continue telle quedt √ 2t t −1 ∀x∈ [a,b], f(a+b−x) =f(x) Montrer que Z ZExercice 3 [ 01983 ] [correction] b ba+b xf(x)dx = f(x)dxCalculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat : 2a a Z Z Ze e 1 dt dt dt a) b) √ c) 2 tt+t(lnt) e +1t lnt+11 1 0 Exercice 8 Centrale MP [ 00188 ] [correction] a) Soit f∈C([0,1],R). Etablir Z Zπ πExercice 4 [ 00260 ] [correction] π tf(sint)dt = f(sint)dtCalculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat 20 0 Z Z Z1 1 2p p lnt b) En déduire la valeur de22 2 √a) 1−t dt b) t 1−t dt c) dt t0 0 1 Z π 2nxsin (x) I = dxn 2n 2nsin (x)+cos (x)0 Exercice 5 [ 01984 ] [correction] a) Observer Z Zπ/4 π/4 Exercice 9 Centrale PSI [ 03337 ] [correction]π 2 3ln(cost)dt = lncos −t dt a) Etudier les variations de la fonction x7→ 3x −2x . 40 0 b) Soit f : [0,1]→R continue.