Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Fonctions trigonométriques inverses

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions trigonométriques inverses Exercice 8 [ 01856 ] [correction] Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle : Exercice 1 [ 01849 ] [correction] 4 5 a) arcsinx = arcsin +arcsin b) arcsintanx =xSimplifier les expressions suivantes : 5 13 √ 7π c) arccosx = arcsin2x d) arctanx+arctanx 3 = a) cos(2arccosx) b) cos(2arcsinx) c) sin(2arccosx) 12 2x tanxd) cos(2arctanx) e) sin(2arctanx) f) tan(2arcsinx) e) arcsin = arctanx f) arcsin =x 21+x 2 Exercice 2 [ 01850 ] [correction] Exercice 9 [ 01857 ] [correction] 3Simplifier la fonction x7→ arccos(4x −3x) sur son intervalle de définition. On appelle argument principal d’un complexe z non nul, l’unique θ∈ ]−π,π] tel iθque z =|z|e . y− √Montrer que si z∈C\R alors θ = 2arctan avec x = Re(z) et 2 2x+ x +y Exercice 3 [ 01851 ] [correction] y = Im(z).x√Simplifier arcsin . 21+x Exercice 10 [ 01858 ] [correction] Simplifier arctana+arctanb pour a,b> 0.Exercice 4 [ 01852 ] [correction] Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0,π/2). Exercice 11 [ 01859 ] [correction] Soit p∈N. Calculer arctan(p+1)−arctan(p). nP 1Etudier la limite de la suite (S ) de terme général : S = arctan .n n 2p +p+1Exercice 5 [ 01853 ] [correction] p=0arccos(1−x) √Déterminer lim à l’aide d’un changement de variable judicieux.