Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Théorème des valeurs intermédiaires

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 8 [ 01802 ] [correction] +Soient f : [a,b]→R continue et p,q∈R . Montrer qu’il existe c∈ [a,b] tel queExercice 1 [ 01803 ] [correction] Soitf :R→R continue telle que limf =−1 et limf = 1. Montrer quef s’annule. −∞ +∞ p.f(a)+q.f(b) = (p+q).f(c) Exercice 2 [ 01800 ] [correction] Exercice 9 [ 01805 ] [correction] Soit f : [0,1]→ [0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe. Soit f : [0,1]→R continue telle que f(0) =f(1). ?Montrer que pour tout n∈N , il existe α∈ [0,1−1/n] tel que Exercice 3 [ 01806 ] [correction] f(α+1/n) =f(α) Soit f :R→R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Exercice 10 [ 01808 ] [correction] Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : Exercice 4 [ 01807 ] [correction] Toute fonction f :I→R continue et injective est strictement monotone. Soit f : [0,+∞[→R continue, positive et telle que Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose : f(x) 2 2∃(x ,y )∈I ,x f(y ) et∃(x ,y )∈I ,x 0 et ϕ(1) =f(1)−16 0 donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ s’annule. ϕ est continue et ∀x∈I,|ϕ(x)| = 1 Montrons que ϕ est constante égale à 1 ou−1 ce qui permet de conclure. Exercice 3 : [énoncé] Par l’absurde, si ϕ n’est pas constante égale à 1 ni à−1 alors il existe a,b∈I tel Unicité : Soit g :x7→f(x)−x. g est strictement décroissante donc injective et ne que ϕ(a) = 1> 0 et ϕ(b) =−16 0.