Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Continuité sur segment

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Continuité sur segment Exercice 7 [ 03437 ] [correction] Soit f :R→R une fonction continue et T-périodique (T > 0). a) Montrer que f est bornée.Exercice 1 [ 01813 ] [correction] b) Justifier l’existence de x∈R tel queMontrer qu’une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. f([x,x+T/2]) = Imf Exercice 2 [ 01812 ] [correction] Soient f :R→R bornée et g :R→R continue. Exercice 8 [ 03722 ] [correction] Montrer que g◦f et f◦g sont bornées. Soit f : [a,b]→R continue vérifiant f(a) =f(b). Montrer qu’il existe α> 0 tel que Exercice 3 [ 01810 ] [correction] ∀σ∈ [0,α],∃x∈ [a,b−α],f(x+σ) =f(x) Soient f,g : [a,b]→R continues telles que ∀x∈ [a,b],f(x) 0 tel que ∀x∈ [a,b],f(x)6g(x)−α Exercice 4 [ 01811 ] [correction] Soit f :R→R continue telle que limf = limf = +∞ +∞ −∞ Montrer que f admet un minimum absolu. Exercice 5 [ 01814 ] [correction] Soient f,g : [0,1]→R continue. On pose ϕ(t) = sup (f(x)+tg(x)) x∈[0,1] Montrer que ϕ est bien définie surR et qu’elle y est lipschitzienne. Exercice 6 [ 01815 ] [correction] Soit f :R→R continue. On suppose que chaque y∈R admet au plus deux antécédents par f. Montrer qu’il existe un y∈R possédant exactement un antécédent. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.