Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Continuité et équation fonctionnelle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité et équation fonctionnelle Exercice 6 [ 00243 ] [correction] Soit f :R→R telle que pour tout x,y∈R, Exercice 1 [ 01790 ] [correction] f(x+y) =f(x)+f(y) Soit f :R→R continue en 0 telle que On suppose en outre que la fonction f est continue en un point x ∈R.0∀x∈R, f(2x) =f(x) Déterminer la fonction f. Montrer que f est une fonction constante. Exercice 7 [ 01799 ] [correction] Exercice 2 [ 01791 ] [correction] On cherche les fonctions f :R→R continues telles que Soit f :R→R une fonction continue en 0 et en 1 telle que x+y 1 ∀x,y∈R, f = (f(x)+f(y))2∀x∈R,f(x) =f(x ) 2 2 Montrer que f est constante. a) On suppose f solution et f(0) =f(1) = 0. Montrer que f est périodique et que ∀x∈R, 2f(x) =f(2x)Exercice 3 [ 00244 ] [correction] Soit f :R→R continue telle que∀x∈R, En déduire que f est nulle. x+1 b) Déterminer toutes les fonctions f solutions. f =f(x) 2 Montrer que f est constante. Exercice 8 [ 03721 ] [correction] Soit f :R→R une fonction continue telle que Exercice 4 [ 01792 ] [correction] x+y 1 ∀x,y∈R,f = (f(x)+f(y))Soit f :R→R une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0. 2 2 On suppose que ∀x∈R,f(2x) =f(x)cosx a) On suppose f(0) = 0. Vérifier Déterminer f. ∀x,y∈R,f (x+y) =f(x)+f(y) b) On revient au cas général, déterminer f . Exercice 5 [ 01798 ] [correction] Soit f :R→R continue telle que ∀x,y∈R,f(x+y) =f(x)+f(y) a) Calculer f(0) et montrer que pour tout x∈R, f(−x) =−f(x).