Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Analyse vectorielle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Analyse vectorielle Exercice 6 [ 01778 ] [correction] [Fonctions harmoniques] 2Une fonction de classeC est dite harmonique si, et seulement si, son laplacienExercice 1 [ 01773 ] [correction] 2 2∂ f ∂ f2 Δf = + est nul.On appelle laplacien d’un champ scalaire F de classeC le champ scalaire défini 2 2∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ∂f3par a) Montrer que si f est harmonique et de classeC alors , et x +y le ∂x ∂y ∂x ∂y−−→ sont aussi.ΔF = div gradF 2On suppose que f :R\{(0, 0)} est radiale i.e. qu’il existe une fonction +? 2 2 2a) Montrer ϕ :R →R de classeC telle que f(x,y) =ϕ(x +y ). 2 2 0∂ F ∂ F b) Montrer que f est harmonique si, et seulement si,ϕ est solution d’une équation ΔF = + 2 2∂x ∂y différentielle qu’on précisera. c) En résolvant cette équation, déterminer f.∂F ∂F ∂F ∂Fb) Exprimer (M) et (M) en fonction de (M) et (M) ∂ρ ∂θ ∂x ∂y 2 2∂ F ∂F ∂ Fc) ΔF en fonction de , et .2 2∂ρ ∂ρ ∂θ Exercice 7 CCP MP [ 03799 ] [correction] On pose ~ ~Exercice 2 [ 01774 ] [correction] ~γ (t) =a(1−t)i +btj avec 06t6 11−−→ 1Soit F un champ scalaire de classeC de l’espace. Exprimer gradF (M) en ~ ~~γ (t) =a cos(s)i +b sin(s)j avec 06s6π/22∂F ∂F ∂Ffonction (M), (M), (M) et des vecteurs du repère cylindrique associé au ∂ρ ∂ϕ ∂z et le champ de vecteurspoint M. ~ ~ ~V =yi + 2xj a) Représenter les courbes paramétrées par~γ et~γ .1 2 Exercice 3 [ 01775 ] [correction] ~b) Le champ de vecteurs V dérive-t-il d’un potentiel U(x,y)?