Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Etude de fonctions définies par une intégrale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude de fonctions définies par une intégrale Exercice 5 [ 00535 ] [correction] Soit f :R→R définie par Z 21Exercice 1 [ 00531 ] [correction] −x(1+t )e f(x) = dtSoit 2Z +∞ 1 +t0dt f :x7→ 03 3 a) Montrer que f est dérivable surR et exprimer f (x).1 +x +t0 b) Calculer f(0) et limf.+a) Montrer que f est définie surR . +∞ 2c) On note g l’application définie par g(x) =f(x ). Montrerb) A l’aide du changement de variable u = 1/t, calculer f(0). c) Montrer que f est continue et décroissante. Z x 2 2 π−td) Déterminer limf. g(x) + e dt = +∞ 40 d) Conclure Z √+∞ 2 πExercice 2 [ 00532 ] [correction] −te dt = Soit 20Z 2+∞ −txe dt g(x) = 31 +t0 Exercice 6 [ 00536 ] [correction] a) Calculer g(0) en réalisant le changement de variable t = 1/u. Soit f la fonction donnée par b) Etudier les variations de g sur son domaine de définition. Z π/2 xc) la limite de g en +∞. f(x) = sin (t)dt 0 a) Montrer que f est définie et positive sur ]−1, +∞[. 1Exercice 3 [ 00533 ] [correction] b) Montrer que f est de classeC et préciser sa monotonie. Soit c) Former une relation entre f(x + 2) et f(x) pour tout x>−1.Z π/2 cost d) On pose pour x> 0,f :x7→ dt t +x ϕ(x) =xf(x)f(x− 1)0 +?a) Montrer que f est définie, continue surR . Etudier les variations de f. Montrer que +b) Déterminer les limites de f en 0 et +∞. ∀x> 0,ϕ(x + 1) =ϕ(x) +c) un équivalent de f en 0 et +∞. ?Calculer ϕ(n) pour n∈N . +e) Déterminer un équivalent à f en−1 .