Sujet : Analyse, Espaces normés, Suites de matrices

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites de matrices Exercice 7 [ 03036 ] [correction] Soit (A ) une suite convergente d’éléments deM (K) et de limite A .n n ∞ Montrer que pour n assez grandExercice 1 [ 03143 ] [correction] Soient A,B∈M (R). On supposep rg(A )> rg(A )n ∞ n(AB) →Op Montrer que Exercice 8 X MP [ 03475 ] [correction] n(BA) →O Soit (A ) une suite de matrice deM (C) convergeant vers A∈M (C).k n np On suppose que les A sont tous de rang p donné. Montrer que rgA6p.k Exercice 2 [ 01670 ] [correction] Exercice 9 [ 03413 ] [correction]Soient A,B∈M (R) telles quen ?Soit q∈N . On note E l’ensemble des A∈ GL (C) telles queq n k kA −−−−→P et B −−−−→Q k→+∞ k→+∞ qA =In On suppose que les matrices A et B commutent. Montrer que les matrices P et Q a) Que dire de A∈E telle que 1 est seule valeur propre de A?qcommutent. b) Montrer que I est un point isolé de E .n q Exercice 3 [ 00471 ] [correction] Soit (A ) une suite de matrices inversibles deM (K).n p On suppose −1A →A et A →Bn n Montrer que A est inversible et déterminer son inverse. Exercice 4 [ 00472 ] [correction] A quelle condition sur A∈M (K) existe-t-il une matrice M∈M (K) telle quep p nM −−−−→A? n→+∞ Exercice 5 [ 03010 ] [correction] nSoit A∈M (C). On suppose que la suite (A ) converge vers B.p n∈N Montrer que B est semblable à une matrice diagonale n’ayant que des 0 et des 1. Exercice 6 [ 03022 ] [correction] na) Soit A∈M (R) diagonalisable vérifiant Sp(A)⊂ ]−1,1[. Montrer A →O .