Sujet : Analyse, Espaces normés, Fonctions lipschitziennes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonctions lipschitziennes Exercice 1 [ 00475 ] [correction] Soit E l’espace formé des fonctions réelles définies sur [a,b], lipschitziennes et s’annulant en a. Montrer que l’application N :E→R qui à f∈E associe le réel +N(f) = inf k∈R /∀x,y∈ [a,b],|f(x)−f(y)|6k|x−y| définit une norme sur E. Exercice 2 [ 03052 ] [correction] Soient A une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé (E,N) etL le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E. a) Montrer que les élémentsL sont des fonctions bornées. b) Pour f∈L, soit + 2K = k∈R /∀(x,y)∈A ,N(f(x)−f(y))6kN(x−y)f Justifier l’existence de c(f) = infK puis montrer c(f)∈K .f f +c) Soient a∈A et N :L→R définie para N (f) =c(f)+N(f(a))a Montrer que N est une norme surL.a d) Soient a,b∈A. Montrer que les normes N et N sont équivalentes.a b Exercice 3 [ 00476 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé et T :E→E définie par u si kuk6 1 T(u) = u sinon kuk Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne. Exercice 4 Centrale MP [ 00477 ] [correction] Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose 1 f(x) = x max(1,kxk) Montrer que f est 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme sur E est hilbertienne alors f est 1-lipschitzienne. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.