Sujet : Analyse, Espaces normés, Equivalence de normes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equivalence de normes soit une norme. b) Soit (f ) une suite de fonctions de E qui converge simplement vers unen fonction f : [0,1]→R. Montrer que f∈E et que la convergence est uniforme.Exercice 1 [ 00458 ] [correction] Soit N une norme surM (R). Montrer qu’il existe c> 0 tel quen N(AB)6cN(A)N(B) Exercice 5 [ 01582 ] [correction] Montrer que si (P ) est une suite de fonctions polynomiales de degré inférieur à Nn convergeant simplement vers une fonction f surR alors f est une fonction Exercice 2 [ 03146 ] [correction] polynomiale. Soient n∈N et E l’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à n. Montrer qu’il existe λ> 0 vérifiant Z 1 Exercice 6 Centrale MP [ 02411 ] [correction] ∀P∈E, |P(t)| dt>λ sup |P(t)| Soit 0 t∈[0,1] 2 0E = f∈C ([0,π],R)/f(0) =f (0) = 0 a) Montrer que 00Exercice 3 [ 00474 ] [correction] N :f7→kf +f k∞ Pour d∈N, on pose E =R [X] l’espace des polynômes réels en l’indéterminée Xd est une norme sur E.de degrés inférieurs ou égaux à d. b) Montrer que N est équivalente àa) Pour ξ = (ξ ,...,ξ ) famille de d+1 nombres réels distincts et P∈E, on pose0 d 00 d ν :f7→kfk +kf kX ∞ ∞ N (P) = |P(ξ )|ξ k k=0 Exercice 7 [ 00463 ] [correction]Montrer que N définit une norme sur E.ξ 1On note E =C ([0,1],R).b) Soit (P ) une suite de polynômes éléments de E. Pour tout n∈N, on écritn a) Pour f∈E, on pose 0dX N(f) =kfk +kfk∞ ∞kP = a Xn k,n Montrer que N est une norme sur E. Est-elle équivalente àk.k ?