Sujet : Analyse, Espaces normés, Continuité des applications linéaires

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité des applications linéaires Exercice 7 [ 00489 ] [correction] Soit E une algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir que E peut être muni d’une norme d’algèbre. Soitk.k une norme sur E. Pour tout x∈E, on poseExercice 1 [ 00483 ] [correction] Soit u un endomorphisme continu d’un espace vectoriel normé E. N(x) = sup kaxkMontrer que a∈E,kak=1 ∀λ∈ Sp(u),|λ|6kuk a) Justifier que N(x) existe dansR. b) Etablir que N est une norme d’algèbre sur E. Exercice 2 [ 00484 ] [correction] Soient E et F deux espace vectoriels normés. On suppose qu’une suite (f )n d’éléments deLC(E,F) converge vers f∈LC(E,F) (au sens de la norme Exercice 8 X MP [ 00490 ] [correction]subordonnée) et qu’une suite (x ) d’éléments de E converge vers x∈E. Etablirn Soit f une forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel normé E.que f (x )→f(x).n n Montrer que si x∈/ kerf alors |f(x)|Exercice 3 [ 00485 ] [correction] d(x,kerf) = Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f∈L(E,F). kfk On suppose que pour toute suite (u ) tendant vers 0, f(u ) est bornée.n n Montrer que f est continue. Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02832 ] [correction] Soientd un entier naturel et (f ) une suite de fonctions polynomiales deR dansRnExercice 4 [ 00486 ] [correction] de degré au plus d. On suppose que cette suite converge simplement.