Sujet : Analyse, Espaces normés, Comparaison de normes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Comparaison de normes a) Montrer que N et N sont deux normes surR[X].1 2 b) Etudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général Exercice 1 [ 00466 ] [correction] 1 n0 P = XSoit E =C ([0,1],R). On définit les normesk.k ,k.k etk.k par : n1 2 ∞ n Z Z 1/21 1 c) Les normes N et N sont-elles équivalentes?1 22kfk = |f(t)|dt, kfk = f(t) dt et kfk = sup|f|1 2 ∞ 0 0 [0,1] a) Montrer quek.k est plus fine quek.k etk.k mais qu’elle n’équivaut ni à Exercice 6 Centrale MP [ 02412 ] [correction]∞ 1 2 1l’une, ni à l’autre. Soient l’espace E = f∈C ([0,1],R)/f(0) = 0 et N l’application définie sur E b) Comparerk.k etk.k . par1 2 0N(f) =N (3f +f )∞ a) Montrer que (E,N) est un espace vectoriel normé puis qu’il existe α> 0 telExercice 2 [ 00469 ] [correction] 1 2 ∞ que N (f)6αN(f).∞a) Etablir ‘ (R)⊂‘ (R)⊂‘ (R). 1 b) Les normes N et N sont-elles équivalentes?∞b) Comparerk.k etk.k sur ‘ (R)1 ∞ 1b)k.k etk.k sur ‘ (R)1 2 Exercice 7 Centrale MP [ 00465 ] [correction] 1 +Exercice 3 [ 00468 ] [correction] Soient E =C ([0,1],R) et N :E→R définie par (N) (N)On noteR l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. R s Z1 2 ∞ 1étant un sous-espace vectoriel de ‘ (R), de ‘ (R) et de ‘ (R), on peut y définir 2 02N(f) = f (0)+ f (t)dtk.k ,k.k etk.k .1 2 ∞ 0 a) Comparerk.k etk.k .1 ∞ b)k.k etk.k . a) Montrer que N définit une norme sur E.1 2 b) Comparer N etk.k .