Sujet : Analyse, Espaces normés, Calcul de norme d'application linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de norme d’application linéaire Exercice 5 [ 00495 ] [correction] Soit E =C ([0, 1],R) muni dek.k définie par1 ZExercice 1 [ 00491 ] [correction] 1 ∞ kfk = |f(t)| dtOn note E =‘ (R) l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la 1 ∞ 0norme N . Pour u = (u )∈‘ (R) on pose T (u) et Δ(u) les suites définies par∞ n Etudier la continuité de la forme linéaire ZT (u) =u et Δ(u) =u −u 1n n+1 n n+1 n ϕ :f7→ tf(t) dt 0a) Montrer que les applications T et Δ sont des endomorphismes continus de E. b) Calculer leur norme. et calculer sa norme. Exercice 6 [ 00496 ] [correction] Exercice 2 [ 00492 ] [correction] SoientE =C([0, 1],R) etu l’endomorphisme deE qui envoief∈E sur la fonction0 1Soient E =C ([0, 1],R) et F =C ([0, 1],R). On définit N et N par1 2 u(f) :x7→f(x)−f(0) 0 N (f) =kfk et N (f) =kfk +kfk1 2∞ ∞ ∞ a) Montrer que pour E muni dek.k l’endomorphisme u est continu et calculer∞ a) On définit T :E→F par : pour tout f : [0, 1]→R, T (f) : [0, 1]→R est sa norme. définie par b) Montrer que pour E muni dek.k u n’est pas continu.Z 1x T (f)(x) = f(t) dt 0 Exercice 7 [ 00497 ] [correction] Montrer que T est une application linéaire continue. SurR [X] on définit N et N par :1 2 b) Calculer la norme de T. +∞ X (k)N (P ) = P (0) et N (P ) = sup |P (t)| 1 2 t∈[−1,1]k=0 Exercice 3 [ 00493 ] [correction] a) Montrer que N et N sont deux normes surR [X].Soit E =C ([0, 1],R) muni dek.