Sujet : Analyse, Equations différentielles non linéaires, Equations autonomes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equations autonomes Exercice 8 [ 00451 ] [correction] Soient f :R→R une fonction continue strictement positive et x ∈R.0 a) Soit F la primitive de 1/f s’annulant en x .0Exercice 1 [ 00445 ] [correction] Montrer que F réalise une bijection deR sur un certain intervalle ouvert I.Résoudre l’équation différentielle −1 0b) Etablir que F est solution sur I de l’équation différentielle x =f(x) 0 2 vérifiant la condition initiale x(0) =x .y = 1+y 0 c) Justifier que cette solution est maximale. Exercice 2 [ 00446 ] [correction] Résoudre l’équation différentielle Exercice 9 [ 00452 ] [correction] 0 2y =y Déterminer les solutions au problème de Cauchy ( 00 3y = 2y+2y 0Exercice 3 [ 00447 ] [correction] y(0) = 0,y (0) = 1 Résoudre l’équation différentielle 0y =y(y−1) Exercice 10 [ 00453 ] [correction] On souhaite résoudre le problème de Cauchy formé par l’équation différentielle Exercice 4 [ 00448 ] [correction] 00y +|y| = 0 Résoudre sur tout intervalle 0 y 0y +e = 0 et les conditions initiales y(0) =a et y (0) = 0 (avec a∈R). On admet que ce problème de Cauchy admet une solution unique définie sur R. a) Montrer que pour tout réel x, Exercice 5 [ 00449 ] [correction] y(x)6aRésoudre sur tout intervalle 0y siny =−1 −b) Déterminer y lorsque a∈R . On suppose désormais a> 0. c) Montrer que y s’annule en exactement deux points b 0 dont on− +Exercice 6 [ 00450 ] [correction] précisera les valeurs.