Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Systèmes différentiels linéaire d'ordre 1 à coefficients constants

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Systèmes différentiels linéaire d’ordre 1 à Exercice 6 [ 00393 ] [correction] Soient E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et u un vecteurcoefficients constants unitaire de E. Résoudre l’équation 0Exercice 1 [ 00389 ] [correction] x =u∧x Résoudre le système différentiel suivant ( 0x = 4x−2y Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02902 ] [correction] 0y =x+y Résoudre le système différentiel linéaire  0x =x−z 0Exercice 2 [ 03490 ] [correction] y =x+y+z Résoudre le système différentiel suivant 0z =−x−y+z ( 0 tx =−x +3x +e1 21 0x =−2x +4x1 22 Exercice 8 Centrale MP [ 02490 ] [correction] On considère l’équation (4) (3) (2) 0Exercice 3 [ 00390 ] [correction] x −2x +2x −2x +x = 0 Résoudre le système différentiel suivant a) Montrer que x :R→C est solution de E si, et seulement si,( 0 t t 0 (2) (3) 0x =x+8y+e X = x x x x est de AX =X avec A à déterminer. 0 −3t b) A est-elle diagonalisable dansM (C)?4y = 2x+y+e c) Montrer que 4 2C = ker(A−iI )⊕ker(A+iI )⊕ker(A−I )4 4 4 Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 00391 ] [correction] −1Résoudre le système différentiel suivant d) Montrer qu’il existe P inversible telle que P AP =B avec B diagonale par  blocs et triangulaire supérieure.0x =y+z e) Déterminer les solutions de l’équation différentielle.