Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Méthode de variation des constantes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Méthode de variation des constantes Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02894 ] [correction] +?a) Résoudre surR par variation des constantes : Exercice 1 [ 00405 ] [correction] 00y +y = 1/x Résoudre l’équation différentielle b) En déduire une expression de −2te00 0y +4y +4y = Z +∞21+t dt−txf(x) = e 21+t0 valable pour x> 0.Exercice 2 [ 00406 ] [correction] c) CalculerRésoudre l’équation différentielle Z +∞ sint 00 dty +y = tant t0 Exercice 3 [ 00407 ] [correction] Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02896 ] [correction] ∞ ∞Résoudre l’équation différentielle Soit f∈C (R,C) 2π-périodique. Existe-t-il y∈C (R,C) 2π-périodique et solution de 00 2 00y +y = tan t y +y =f ? Exercice 4 [ 00408 ] [correction] Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02895 ] [correction] 1 +Soit f :R→R une fonction continue. Soit f∈C (R ,R) monotone ayant une limite finie en +∞. 00a) Résoudre surR l’équation différentielle Montrer que les solutions de l’équation y +y =f sont bornées. 00y +y =f Exercice 10 [ 00417 ] [correction] On exprimera la solution à l’aide d’une intégrale. Résoudre surR l’équation0b) Déterminer la telle que y(0) =y (0) = 0. 2t 1 t00 0y + y + y = 2 2 2 2 2t +1 (t +1) (t +1) Exercice 5 [ 00409 ] [correction] en posant x = arctant.