Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Etude théorique d'équation d'ordre 2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude théorique d’équation d’ordre 2 Exercice 5 [ 03499 ] [correction] Soientp,q : [0,1]→R continue et l’équation différentielle définie sur [0,1] suivante Exercice 1 [ 00402 ] [correction] 00 0 y +p(t)y +q(t)y = 0+Soit p :R→R une fonction continue non nulle. 00Montrer que toute solution surR de l’équation différentielle y +p(x)y = 0 Montrer que si une solution possède une infinité de racines alors celle-ci est la s’annule. fonction nulle. Exercice 2 [ 03779 ] [correction] Soient q une fonction continue sur [a,b] à valeurs réelles et f une solution non Exercice 6 [ 03671 ] [correction] nulle sur [a,b] de l’équation différentielle Soient q ,q :I→R continues vérifiant q 6q .1 2 1 2 On note ϕ et ϕ deux solutions sur I respectivement des équations1 200(E) :y (x)+q(x)y(x) = 0 00 00y +q (x)y = 0 et y +q (x)y = 01 2Montrer que f admet un nombre fini de zéros. On suppose la solution ϕ non identiquement nulle.1 Exercice 3 [ 03110 ] [correction] a) Montrer que les zéros de ϕ sont isolés i.e. que si x ∈I annule ϕ alors1 0 1 1Soient f∈C (]0,+∞[,R) et g une solution non identiquement nulle de ∃α> 0,∀x∈I∩[x −α,x +α],ϕ(x) = 0⇒x =x0 0 000E :y +fy = 0 b) Soient am b) Soient f et g deux solutions bornées. Etudier le wronskien de f et de g 00On noteE l’équation différentielley +qy = 0. Soitf une solution non nulle deE.