Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation linéaire scalaire d'ordre 2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Equation linéaire scalaire d’ordre 2 Exercice 7 [ 01319 ] [correction] Soit l’équation différentielle Exercice 1 [ 00395 ] [correction] 00 0 3E :xy + 3y − 4x y = 0 Résoudre surR l’équation différentielle 2 00 a) Chercher une solution non nulle y développable en série entière au voisinage1(t + 1)y − 2y =t de 0 et non nulle. Préciser le rayon de convergence puis exprimer y (x) à l’aide des fonctionsen commençant par rechercher les polynômes solutions. 1 usuelles, pour x∈ ]0, +∞[ b) Trouver une solution y de E sur ]0, +∞[ non colinéaire à y .2 1 Exercice 2 [ 00396 ] [correction] c) Décrire l’ensemble des solutions de E sur ]0, +∞[. Résoudre surR l’équation 2 2 00 2 0 2 2(1 +t ) y (t)− 2t(1 +t )y (t) + 2(t − 1)y(t) = (1 +t ) Exercice 8 [ 01016 ] [correction] a) Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équationOn pourra commencer par rechercher une solution polynomiale de l’équation différentiellehomogène. 00 0y + 2xy + 2y = 0 b) Exprimer parmi celles-ci celles dont la somme est une fonction paire. Exercice 3 [ 00397 ] [correction] +?Résoudre surR l’équation 3 00 0 Exercice 9 [ 00404 ] [correction]t y +ty −y = 0 a) Résoudre surR l’équation 2 00 0(1 +t )y (t) + 4ty (t) + 2y(t) = 0 Exercice 4 [ 00398 ] [correction] +?Résoudre surR l’équation en recherchant les séries entières solutions.