Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation linéaire scalaire d'ordre 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equation linéaire scalaire d’ordre 1 Exercice 7 [ 03109 ] [correction] Soient α un complexe de partie réelle strictement positive et une application de 1 0classeC telle que f +αf tend vers 0 en +∞.Exercice 1 [ 00376 ] [correction] Montrer que f tend vers 0 en +∞.Résoudre les équations différentielles suivantes : 0 xa) y −y = sin(2x)e 20 −xb) y +2xy = 2xe Exercice 8 [ 03505 ] [correction]0c) y +ytanx = sin2x sur ]−π/2,π/2[ On considère l’équation 0(E) : (1−x)y −y =g où g : ]−1,1[→R est donnée.Exercice 2 [ 00382 ] [correction] a) Résoudre l’équation homogène associée.Résoudre sur ]1,+∞[ l’équation différentielle b) On suppose que la fonction g est développable en série entière x0y − y = 2x 2 +∞x −1 X ng(x) = b xn n=0 Exercice 3 [ 00377 ] [correction] de rayon de convergence R> 1. Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants : Montrer que (E)admet au moins une solution développable en série entière en 0, 0a) y −(x+1)(y+1) = 0 et y(0) = 1 2 0 +∞b) (1+x )y −(x+1)y = 2 et y(0) =−1. X ny(x) = a xn n=0 0Exercice 4 [ 00379 ] [correction] de rayon de convergence R > 1 et exprimer les a en fonction de b pour toutn n Trouver toutes les applications f :R→R dérivables en 0 telles que : n∈N. 2 x y∀(x,y)∈R ,f(x+y) = e f(y)+e f(x) Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 03620 ] [correction] a) Montrer que l’équation différentielle Exercice 5 [ 00380 ] [correction] 0+ y −y =fSoit a :R →R continue et intégrable.