Sujet : Analyse, Equations différentielles, Equation linéaire du second ordre à coefficients constants

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equation linéaire du second ordre à coefficients Exercice 6 [ 01551 ] [correction] 2 00 0Déterminer les couples (a,b)∈R tels que toute solution de y +ay +by = 0 soitconstants +bornée surR . Exercice 1 [ 01549 ] [correction] Résoudre surR les équations différentielles suivantes : Exercice 7 [ 01555 ] [correction] 00 0 +a) y + 2y + 2y = 2x Soit p :R→R une fonction continue non nulle. 00 2 00b) y +y =x + 1 On se propose de montrer que les solutions surR de l’équation y +p(x)y = 0 00 0 2c) y − 3y + 2y = 2x s’annulent. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose que f est une solution ne s’annulant pas. a) Justifier que f est de signe constant.Exercice 2 [ 01450 ] [correction] Quitte à considérer−f au lieu de f, on peut supposer∀x∈R,f(x)> 0.Résoudre surR les équations différentielles suivantes : 0000 0 x b) Etudier le signe de f .a) y + 2y +y =xe 00 0 x c) Soit a∈R quelconque. Quelle est l’équation de la tangente à f en a?b) y +y − 2y =xe 00 0 −x d) Montrer que le graphe de f est en dessous de sate en a.c) y + 2y + 2y = (x + 1)e 0e) En déduire que f (a) = 0 et conclure.