Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Théorème de Rolle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de Rolle Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02820 ] [correction] Soient f :I→R une fonction deux fois dérivable sur I et a,b,c trois points distincts de I.Exercice 1 [ 00261 ] [correction] Montrera) Soit P∈R[X] un polynôme scindé à racines simples avec n = degP > 2. 0Montrer que le polynôme P est lui aussi scindé. f(a) f(b) f(c) 1 00∃d∈I, + + = f (d)b) Montrer que le résultat perdure même si les racines de P ne sont pas simples. (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b) 2 Exercice 2 [ 00262 ] [correction] (n)2 nOn pose f :x7→ (x −1) . a) Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n. b) Calculer f(1) et f(−1). c) Montrer que f possède exactement n racines distinctes toutes dans ]−1,1[. Exercice 3 [ 00266 ] [correction] 1Soit f : [a,b]→R de classeC et s’annulant une infinité de fois. Montrer qu’il 0existe α∈ [a,b] tel que f(α) =f (α) = 0.