Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Suites récurrentes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Suites récurrentes Exercice 5 [ 00333 ] [correction] Soient u ∈ ]0,1[ et pour tout n∈N,0 Exercice 1 [ 00328 ] [correction] 2u =u −un+1 n nEtudier la suite définie par u > 0 et pour tout n∈N,0 Montrer que (u ) est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suitesn1 2u = 1+ un+1 dont les termes généraux sont les suivantsn4 n nX Y 2u et (1−u )kk Exercice 2 [ 00330 ] [correction] k=0 k=0 Soient a> 0, rq q √ √ √ Exercice 6 [ 00334 ] [correction] u = a, u = a+ a, u = a+ a+ a,1 2 3 1Soit f : [a,b]→ [a,b] une fonction de classeC telle que 0Montrer que (u ) est convergente.n ∀x∈ [a,b],|f (x)| 0) et (u ) la suite définie parn a) Montrer que (u ) est bornée. Quelles sont les limites possibles de (u )?n n b) Montrer que si (u ) converge alors (u ) est soit stationnaire égale à 0, soitn nu > 0 et∀n∈N,u =f(u )0 n+1 n stationnaire égale à 3. 2Etudier les variations de f, le signe de f(x)−x et en déduire le comportement de c) En posant u = 4sin α, déterminer les valeurs de u pour lesquelles la suite0 0 (u ). (u ) est stationnaire.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 9 [ 00336 ] [correction] Exercice 13 Mines-Ponts MP [ 02783 ] [correction] + ?Soient ρ∈R et θ∈ ]−π,π]. Soit (x ) une suite de réels positifs.