Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Suites numériques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Suites numériques Exercice 7 [ 00322 ] [correction] Soit Z 1 nx Exercice 1 [ 00298 ] [correction] I = dxn x+10Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a) Montrer que I → 0 en décroissant.n n√ xna) u = n b) u = 1+n n b) Simplifier I +I et en déduire une expression de I à l’aide d’un symbolen n+1 nn n+2 sommatoire.n−1 1 12c) u = d) u =n cos −cosn n c) Déterminer n+1 n n+1 N n−1nlnn X n (−1)π α ln(n+1) lime) u = tan + f) u =n n N→+∞ n4 n lnn n=1 √ √ √ 2nn n n n 2+ 3+ 4 arctan(n+1) d) Exploiterg) u = h) u =n n Z 1 n3 arctann x J = dxn 2x +10 pour déterminerExercice 2 [ 00302 ] [correction] N nXNature de la suite de terme général (−1) lim 2 N→+∞ 2n+1u = cos(πn ln(1−1/n)) n=0n Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02781 ] [correction] Exercice 8 [ 00324 ] [correction] 1/nn [Irrationalité de e]Etudier la convergence de la suite ba c , où a> 0. On pose pour n> 1, nX 1 1 u = et v =u +n n nExercice 4 Mines-Ponts MP [ 02782 ] [correction] k! n.n! k=0 Soient des réels positifs a et b. Trouver la limite de a) Montrer que les suites (u ) et (v ) sont adjacentes.n n n1/n 1/n xa +b b) En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction x7→ e , 2 montrer que u → e.n ?c) On suppose que e =p/q avec p,q∈N . En considérant q.q!u et q.q!v obtenirq q une absurdité. Exercice 5 [ 00304 ] [correction] Soit (u ) une suite d’entiers naturels deux à deux distincts.