Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Intégrale fonction des bornes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrale fonction des bornes Exercice 3 Centrale MP [ 02444 ] [correction] Soit 2Z x dtExercice 1 Centrale MP [ 00087 ] [correction] f(x) = lntOn pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel. x a) Résoudre sur l’intervalle I = ]1,+∞[ l’équation différentielle +a) Calculer les limites de f en 0 et +∞, la limite en +∞ de f(x)/x et montrer que f(x) tend vers ln2 quand x tend vers 1.10 ∞ +? +(E) : xy +y = b) Montrer que f est de classeC surR mais qu’elle ne l’est pas surR .lnx c) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative. et expliciter (sous forme intégrale) la solution de (E) sur I, notée f, telle que f(2) = 0. Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel? Exercice 4 [ 00273 ] [correction] b) Etudier les variations de f. Vérifier que f admet un maximum en un unique ?On introduit surR la fonction point d’abscisse x ∈I.0 Z 2xAvec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de x . t0 e f :x7→ dtc) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de f(x) quand tx x→ +∞. On commencera par établir l’équivalent a) Prolonger f par continuité en 0.1 ∼ 1f(x) b) Montrer que f est de classeC surR. x→+∞ lnx c) Etudier les branches infinies de la fonction f +d) Déterminer un équivalent de f lorsque x→ 1 . e) Tracer le graphe de f avec le logiciel de calcul formel. Exercice 5 [ 00275 ] [correction] Soit ZExercice 2 [ 02610 ] [correction] 2x cht?