Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Formules de Taylor

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Formules de Taylor Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02816 ] [correction] Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral. Exercice 1 [ 00291 ] [correction] Etablir que pour tout x∈ [0,π/2], Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02817 ] [correction] 1 1 13 3 5 Montrer, pour tout x∈ ]0,π/2[, l’existence de θ ∈ ]0,1[ tel quexx− x 6 sinx6x− x + x 6 6 120 3x sinx =x− cos(xθ )x 6 Exercice 2 [ 00293 ] [correction] 2 Etudier la limite de θ quand x tend vers 0 par valeur supérieure.Soit f :R→R de classeC . x On suppose 00 f(x),f (x)−−−−→ 0 x→+∞ Exercice 8 [ 00255 ] [correction] Montrer que ? nSoient n∈N et ϕ :R→R une fonction de classeC telle que0f (x)−−−−→ 0 x→+∞ n=ϕ(x) o(x ) x→0 Exercice 3 [ 00295 ] [correction] a) Montrer que (p) n−pEn exploitant une formule de Taylor adéquate établir ∀06p6n,ϕ (x) = o(x ) x→0 n kX (−1) b) On introduit ψ :R→R définie par lim = ln2 n→+∞ k+1 k=0 ϕ(x)/x si x = 0 ψ(x) = 0 sinon Exercice 4 [ 00296 ] [correction] Montrer que2 00Soit f :R→R de classeC telle que f (0) = 0. (p) n−p−1=∀06p 1,f (t) = 2 k k k M k(1+t) 0 f −f(0)− f (0) 6 2 2 2n n 2 n donc (k) k−1f (0) = (−1) (k−1)! Par suite n n X Xk M M (n+1) 0 2 Sur [0,1], f (t) 6n! donc l’inégalité de Taylor Lagrange donne S − f (0) 6 k 6 → 0 n 2 4 n 2n 2n k=1 k=1 n (k)Xf (0) n! 1 or nf(1)−f(0)− 6 = X k n+10 0 k! (n+1)! n+1 f (0) = f (0)k=1 2n 2n k=1 i.e.