Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Etude de suite de solutions d'une équation

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de suite de solutions d’une équation Exercice 6 Centrale MP [ 00316 ] [correction] n 2Montrer que l’équation x +x −1 = 0 admet une unique racine réelle strictement positive pour n> 1. On la note x . Déterminer la limite ‘ de la suite (x ) puis unn nExercice 1 [ 01477 ] [correction] équivalent de x −‘.nSoit f : ]0,+∞[→R la fonction définie par f(x) = lnx+x Exercice 7 Centrale MP [ 00317 ] [correction]a) Montrer que pour tout entier n∈N, il existe un unique x tel que f(x ) =n.n n nPour tout entier n> 2, on considère l’équation (E ) :x =x+1 dont l’inconnuenb) Former le développement asymptotique de la suite (x ) à la précision (lnn)/n.n est x> 0. a) Montrer l’existence et l’unicité de x solution de (E ).n n Exercice 2 [ 00310 ] [correction] b) Montrer que (x ) tend vers 1.n Pour n∈N, on considère l’équation c) Montrer que (x ) admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisn √ premiers termes de ce développement limité. 3x+ x =n d’inconnue x∈R. Exercice 8 X MP - Centrale MP [ 00318 ] [correction]a) Montrer que cette équation possède une unique solution x .n Pour n> 2, on considère le polynômeb) Déterminer la limite de x puis un équivalent simple de (x ).n n c) Donner un développement asymptotique à trois termes de (x ).n nP =X −nX +1n Exercice 3 [ 00311 ] [correction] a) Montrer que P admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notée x .n n b) Déterminer la limite de x lorsque n→ +∞.