Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Etude asymptotique d'application réciproque

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude asymptotique d’application réciproque Exercice 5 [ 03230 ] [correction] Soit x+1 xf :x7→ eExercice 1 [ 00237 ] [correction] x On pose f(x) =x+lnx−1 pour x> 0. a) Montrer que l’équationa) Justifier que f réalise une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalle à préciser. −1 f(x) =λb) Former le développement limité à l’ordre 2 de f en 0. −1c) Donner un équivalent simple à f (y) quand y→ +∞. admet deux solutions a(λ) 0 a) Montrer l’existence de a> 0 tel que f est strictement décroissante sur [−a,0] et strictement croissante sur [0,a]. b) On pose b = min{f(−a),f(a)} Montrer que pour tout λ∈ [0,b], l’équation f(x) =λ admet une unique solution x (λ) dans [−a,0] et une unique solution x (λ) dans [0,a].1 2 +c) Déterminer les limites puis des équivalents de x (λ) et de x (λ) quand λ→ 0 .1 2 3 +d) On suppose maintenant que f est de classeC . Etudier la limite λ→ 0 de x (λ)+x (λ)1 2 λ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections e) On a −1f (y)−−−−→ 0 y→−∞ Exercice 1 : [énoncé] La relation a) f est continue et strictement croissante. L’étude des limites de f permet −1 −1f (y)+ln(f (y))−1 =yd’affirmer que f réalise une bijection ]0,+∞[ versR.