Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Dérivation des fonctions réelles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivation des fonctions réelles Exercice 5 [ 00248 ] [correction] [Théorème de Darboux] Soit f : [a,b]→R une fonction dérivable.Exercice 1 [ 00251 ] [correction] 0a) Montrer que f prend toutes les valeurs intermédiaires entreCalculer la dérivée n-ième de 1 x7→ f(b)−f(a)021−x f (a) et b−a 0 0 0b) Conclure que f prend toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Exercice 2 [ 00253 ] [correction] Ainsi, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas nécessairement continue, elle ?Soit f :x7→ arctanx. Montrer que pour n∈N satisfait au théorème des valeurs intermédiaires! n−1(−1) (n−1)! 1 1(n)f (x) = − n n2i (x−i) (x+i) (n) ?En déduire les zéros de f pour n∈N . Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02811 ] [correction] Soient des réels a,b où a∈/{0,1}. On pose h(x) =ax+b pour tout x réel. On note S l’ensemble des fonctions dérivables f :R→R telles que f◦f =h a) Montrer que S =∅ si a 0 (et a = 1). b) Montrer que h est une homothétie; préciser son centre et son rapport. −1c) Soit f∈S. Montrer que h ◦f◦h =f. En déduire une expression de f ; on commencera par le cas 0 1, la même étude en partant de avec k∈{1,...,n−1}. −1h◦f◦h =f Exercice 3 : [énoncé] permet aussi d’affirmer que f est affine et d’obtenir la même conclusion. 0 0a) En dérivant la relation (f◦f)(x) =ax+b on obtient f (x)f (f(x)) =a. On observe que h admet un unique point fixe α =b/(1−a). Si pour tout x∈R, f(x)x pour tout x∈R.