Sujet : Analyse, Développements limités, Applications à l'étude de fonctions

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Applications à l’étude de fonctions Exercice 6 [ 01466 ] [correction] Montrer que la fonction x f :x7→Exercice 1 [ 01461 ] [correction] xe −1 Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 : 1peut être prolongée en une fonction de classeC surR.a) x(2+cosx)−3sinx x xb) x −(sinx) c) arctan(2x)−2arctan(x). Exercice 7 [ 01467 ] [correction] Soit 1/x Exercice 2 [ 01462 ] [correction] f :x7→ (x+1)e Déterminer les limites suivantes : +?définie surR . 1/x Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞.1 1 1 1 (1+x) −e a) lim − b) lim − c) lim2 2 En déduire l’existence d’une droite asymptote en +∞ à la courbe représentativex→0 x x→0x ln(1+x) x→0 xsin x de f. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞. Exercice 3 [ 01463 ] [correction] Déterminer les limites suivantes : Exercice 8 [ 01468 ] [correction]1/(2−x) xlnxx x2 +3 ln(1+x) Soita) lim b) lim x+1 x/2x→2 x→+∞ lnx2 +5 f :x7→x(ln(2x+1)−ln(x))a xx −a c) lim avec a> 0 +?x→a définie surR .arctanx−arctana Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞. En déduire l’existence d’une droite asymptote en +∞ à la courbe représentative Exercice 4 [ 01464 ] [correction] de f. Soit f : ]−1,0[∪]0,+∞[→R définie par Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞.