Sujet : Analyse, Dérivation, Théorème du prolongement C1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème du prolongement C1 Exercice 1 [ 01389 ] [correction] 2x lnx si x = 0+Montrer que la fonction f :R →R définie par : f(x) = est 0 si x = 0 1 +de classeC surR . Exercice 2 [ 01390 ] [correction] n+1x si x> 0 nSoit n∈N, montrer que la fonction f :x7→ est de classeCn 0 sinon surR. Exercice 3 [ 01368 ] [correction] + 2 0Soit f :R →R de classeC telle que f (0) = 0. + 1Montrer qu’il existe g :R →R de classeC telle que + 2∀x∈R ,f(x) =g(x ) Exercice 4 [ 01369 ] [correction] Soit α un paramètre réel. On désire résoudre surR l’équation différentielle 0E :xy =αy +? −?On considère x7→y(x) une solution de E surR etR . +? −?a) Donner l’expression de y(x) surR et surR . + − +?On notera C et C les constantes réelles permettant d’exprimer y(x) surR et −?R . + −b) A quelles conditions sur les constantes C et C , est-il possible de prolonger y par continuité en 0? On distinguera trois cas, selon que α 0. + −c) Pour α> 0, à quelles conditions sur les constantes C et C la fonction prolongée y est-elle dérivable en 0? On distinguera trois cas, selon que 0 1. d) Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale de E surR en fonction de α. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 +? −? + −Corrections Comme y est solution surR etR , il existe C ,C ∈R tels que α α+ −∀x> 0, y(x) =C |x| et∀x 0, f (x) = 2xlnx+x.