Sujet : Analyse, Dérivation, Théorème des accroissements finis

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème des accroissements finis Exercice 7 X PC [ 00727 ] [correction] 2 +Soit f∈C (R ,R) telle que lim f(x) =a∈R. x→+∞ 00 0Exercice 1 [ 01381 ] [correction] a) Si f est bornée, que dire de f (x) quand x→ +∞? Soit f :R→R une fonction dérivable. b) Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du a)? Montrer que 0 0∀x> 0,∃c> 0,f(x)−f(−x) =x(f (c)+f (−c)) Exercice 2 [ 01382 ] [correction] 2Soit f une fonction de classeC sur [a,a+2h] (avec a∈R et h> 0). Montrer 2 00∃c∈ ]a,a+2h[, f(a+2h)−2f(a+h)+f(a) =h f (c) (indice : introduire ϕ(x) =f(x+h)−f(x).) Exercice 3 [ 01384 ] [correction] A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer 1 1 x+1 xlim (x+1)e −xe x→+∞ Exercice 4 [ 01385 ] [correction] Montrer que 1 1 ∀x> 0, 0. Quand x→ +∞, c → +∞ car c >x. Il existe α> 0 tel qu’au voisinage de 0x x Par suite 01c −1x xf (x)>α cxe → 1 cx Pour x et 2x dans ce voisinage, on peut écrire en vertu du théorème deset donc 1 1 accroissements finisx+1 xlim (x+1)e −xe = 1 0x→+∞ f(2x)−f(x) =xf (c) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 3 avec c compris entre x et 2x. 0Puisque cf (c)>α, on obtient α α f(2x)−f(x)>x > c 2 +Or quand x→ 0 f(2x)−f(x)→‘−‘ = 0 C’est absurde. 0De même, supposer ‘ 0.