Sujet : Analyse, Dérivation, Théorème de Rolle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de Rolle Exercice 7 [ 01374 ] [correction] Soit f : [0,+∞[→R une fonction dérivable telle que Exercice 1 [ 01370 ] [correction] limf =f(0) 0 +∞Soit f :R→R dérivable. On suppose que f ne s’annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. 0Montrer qu’il existe c> 0 tel que f (c) = 0. Exercice 2 [ 01371 ] [correction] Exercice 8 [ 01377 ] [correction] Soit a,b,c∈R. Montrer qu’il existe x∈ ]0,1[ tel que Soit a> 0 et f une fonction réelle continue sur [0,a] et dérivable sur ]0,a]. On suppose 3 2 04ax +3bx +2cx =a+b+c f(0) = 0 et f(a)f (a) 0 et f : [0,a]→R une fonction dérivable telle que a) Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I. 00 f(0) =f(a) = 0 et f (0) = 0b) Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n−1) -ième de f +αf s’annule au moins une fois sur I. a) Montrer que la dérivée de x7→f(x)/x s’annule sur ]0,a[. (indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine. Exercice 4 [ 01376 ] [correction] Soient n∈N, a 0 et f (b) 0, f (b)> 0 limf = limf = +∞ Montrer qu’il existe c ,c ,c ∈ ]a,b[ tels que c 0 alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple 0 et T, la dérivée de f s’annule.